问题分析

在等腰直角三角形 ABCABC 中，∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ，且 AB=ACAB = AC。点 AA 的坐标为 (7,3)(7, 3)，点 CC 位于 yy 轴正半轴上，因此点 CC 的坐标为 (0,c)(0, c) 且 c>0c > 0。点 BB 位于第一、第三象限的角平分线上，即直线 y=xy = x 上，因此点 BB 的坐标为 (b,b)(b, b)。

由于 △ABC\triangle ABC 是等腰直角三角形，且 ∠A=90∘\angle A = 90^\circ，有 AB=ACAB = AC 且 AB⊥ACAB \perp AC。利用向量点积为零的条件和距离相等条件，建立方程求解。

建立方程

垂直条件（点积为零）：

(b−7)(−7)+(b−3)(c−3)=0(b - 7)(-7) + (b - 3)(c - 3) = 0
展开并简化：
−7(b−7)+(b−3)(c−3)=0-7(b - 7) + (b - 3)(c - 3) = 0
−7b+49+bc−3b−3c+9=0-7b + 49 + bc - 3b - 3c + 9 = 0
bc−10b−3c+58=0(1)bc - 10b - 3c + 58 = 0 \quad (1)

等长条件（AB=ACAB = AC）：

∣AB∣2=∣AC∣2|AB|^2 = |AC|^2
(b−7)2+(b−3)2=(−7)2+(c−3)2(b - 7)^2 + (b - 3)^2 = (-7)^2 + (c - 3)^2
展开并简化：
(b2−14b+49)+(b2−6b+9)=49+(c2−6c+9)(b^2 - 14b + 49) + (b^2 - 6b + 9) = 49 + (c^2 - 6c + 9)
2b2−20b+58=c2−6c+582b^2 - 20b + 58 = c^2 - 6c + 58
2b2−20b=c2−6c(2)2b^2 - 20b = c^2 - 6c \quad (2)

求解方程

由方程 (1) 解出 bb：
b(c−10)=3c−58b(c - 10) = 3c - 58
b=3c−58c−10(c≠10)b = \frac{3c - 58}{c - 10} \quad (c \neq 10)
化简：
b=3−28c−10b = 3 - \frac{28}{c - 10}
代入方程 (2)：
2(3−28c−10)2−20(3−28c−10)=c2−6c2\left(3 - \frac{28}{c - 10}\right)^2 - 20\left(3 - \frac{28}{c - 10}\right) = c^2 - 6c
令 u=c−10u = c - 10，则：
b=3−28ub = 3 - \frac{28}{u}
2(3−28u)2−20(3−28u)=(u+10)2−6(u+10)2\left(3 - \frac{28}{u}\right)^2 - 20\left(3 - \frac{28}{u}\right) = (u + 10)^2 - 6(u + 10)
左边展开：
2(9−168u+784u2)−60+560u=18−336u+1568u2−60+560u=−42+224u+1568u22\left(9 - \frac{168}{u} + \frac{784}{u^2}\right) - 60 + \frac{560}{u} = 18 - \frac{336}{u} + \frac{1568}{u^2} - 60 + \frac{560}{u} = -42 + \frac{224}{u} + \frac{1568}{u^2}
右边展开：
u2+20u+100−6u−60=u2+14u+40u^2 + 20u + 100 - 6u - 60 = u^2 + 14u + 40
等式：
−42+224u+1568u2=u2+14u+40-42 + \frac{224}{u} + \frac{1568}{u^2} = u^2 + 14u + 40
两边乘 u2u^2：
−42u2+224u+1568=u4+14u3+40u2-42u^2 + 224u + 1568 = u^4 + 14u^3 + 40u^2
移项：
u4+14u3+40u2+42u2−224u−1568=0u^4 + 14u^3 + 40u^2 + 42u^2 - 224u - 1568 = 0
u4+14u3+82u2−224u−1568=0u^4 + 14u^3 + 82u^2 - 224u - 1568 = 0
解四次方程。可能的有理根为 ±1,2,4,7,8,14,16,28,32,49,56,64,98,112,196,224,392,784,1568\pm 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 32, 49, 56, 64, 98, 112, 196, 224, 392, 784, 1568。
试根：

综合除法：

解 u2+14u+98=0u^2 + 14u + 98 = 0：
判别式 142−4⋅1⋅98=196−392=−196<014^2 - 4 \cdot 1 \cdot 98 = 196 - 392 = -196 < 0，无实根。
因此，实根为 u=4u = 4 和 u=−4u = -4。

代回 u=c−10u = c - 10：

求点 BB 并验证

  1. c=14c = 14：
    b=3−2814−10=3−284=3−7=−4b = 3 - \frac{28}{14 - 10} = 3 - \frac{28}{4} = 3 - 7 = -4
    点 B=(−4,−4)B = (-4, -4)。
    验证：

    • 点 A(7,3)A(7, 3)，B(−4,−4)B(-4, -4)，C(0,14)C(0, 14)。
    • 向量 AB→=(−11,−7)\overrightarrow{AB} = (-11, -7)，AC→=(−7,11)\overrightarrow{AC} = (-7, 11)。
    • 点积：(−11)⋅(−7)+(−7)⋅11=77−77=0(-11) \cdot (-7) + (-7) \cdot 11 = 77 - 77 = 0，垂直。
    • 距离：∣AB∣=(−11)2+(−7)2=170|AB| = \sqrt{(-11)^2 + (-7)^2} = \sqrt{170}，∣AC∣=(−7)2+112=170|AC| = \sqrt{(-7)^2 + 11^2} = \sqrt{170}，相等。
    • BC=(0−(−4))2+(14−(−4))2=42+182=340BC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (14 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 18^2} = \sqrt{340}。
    • 勾股定理：AB2+AC2=170+170=340=BC2AB^2 + AC^2 = 170 + 170 = 340 = BC^2，满足。

  2. c=6c = 6：
    b=3−286−10=3−28−4=3+7=10b = 3 - \frac{28}{6 - 10} = 3 - \frac{28}{-4} = 3 + 7 = 10
    点 B=(10,10)B = (10, 10)。
    验证：

    • 点 A(7,3)A(7, 3)，B(10,10)B(10, 10)，C(0,6)C(0, 6)。
    • 向量 AB→=(3,7)\overrightarrow{AB} = (3, 7)，AC→=(−7,3)\overrightarrow{AC} = (-7, 3)。
    • 点积：3⋅(−7)+7⋅3=−21+21=03 \cdot (-7) + 7 \cdot 3 = -21 + 21 = 0，垂直。
    • 距离：∣AB∣=32+72=58|AB| = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}，∣AC∣=(−7)2+32=58|AC| = \sqrt{(-7)^2 + 3^2} = \sqrt{58}，相等。
    • BC=(0−10)2+(6−10)2=(−10)2+(−4)2=116BC = \sqrt{(0 - 10)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-4)^2} = \sqrt{116}。
    • 勾股定理：AB2+AC2=58+58=116=BC2AB^2 + AC^2 = 58 + 58 = 116 = BC^2，满足。

两点 CC 均在 yy 轴正半轴上，点 BB 均在直线 y=xy = x 上（第一象限或第三象限），且均满足等腰直角三角形条件。

结论

点 CC 的坐标为 (0,6)(0, 6) 或 (0,14)(0, 14)。

(0, 6)或(0, 14)\boxed{(0,\ 6)\quad\text{或}\quad(0,\ 14)}